ENEM 2022 · Questão 39246 · Matemática

Enunciado completo

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

1. A) 9 × 6!/(6 − 2)!
2. B) 9 × 6!/[(6 − 2)! × 2!]
3. C) 9 × 4!/[(4 − 2)! × 2!]
4. D) 9 × 2!/[(2 − 2)! × 2!]
5. E) 9 × (8!/[(8 − 2)! × 2!] − 1)

Gabarito: alternativa B

Resolução comentada

Os apartamentos terminados em 1 ou 2 têm dois quartos com sol de manhã, e os terminados em 3, 4, 5 ou 6 têm um. Portanto, seis apartamentos de cada andar atendem à condição individual. Como a compra de um par não depende da ordem dos apartamentos, o número de pares por andar é C(6,2) = 6!/[4! × 2!] = 15. Multiplicando pelos nove andares, obtemos 9 × 15 = 135, expressão apresentada em B.

Análise das alternativas

A

A expressão vale 270 e conta cada par duas vezes, pois distingue a ordem da escolha.

B — correta

A expressão usa a combinação de seis apartamentos tomados dois a dois e multiplica pelos nove andares: 135 escolhas.

C

A expressão vale 54 e considera somente quatro apartamentos por andar, embora seis satisfaçam a condição.

D

A expressão vale 9 e considera apenas um par em cada andar, deixando de fora outros pares elegíveis.

E

A expressão vale 243. Retirar apenas o par formado pelos finais 7 e 8 ainda deixa pares que incluem um apartamento sem quarto com sol de manhã.

Resumo para revisão

Há seis apartamentos elegíveis por andar; escolher dois sem ordem em nove andares dá 135 possibilidades.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2022, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 150, página 20. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.