ENEM 2022 · Questão 39258 · Matemática

Enunciado completo

Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = −t² + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
• I: 1 ≤ t ≤ 2;
• II: 3 ≤ t ≤ 4;
• III: 5 ≤ t ≤ 6;
• IV: 7 ≤ t ≤ 9;
• V: 10 ≤ t ≤ 12.

A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.

A proposta escolhida foi a

1. A) I.
2. B) II.
3. C) III.
4. D) IV.
5. E) V.

Gabarito: alternativa C

Resolução comentada

Completando o quadrado, p(t) = −t² + 10t + 24 = 49 − (t − 5)². O termo subtraído é não negativo e se anula quando t = 5, um mês permitido pelo modelo. Logo, o maior valor é 49, atingido no quinto mês. A proposta III é a que inclui esse mês, pois cobre 5 ≤ t ≤ 6.

Análise das alternativas

A

A proposta I cobre os meses 1 e 2, sem incluir o mês 5; seu maior valor modelado é 40.

B

A proposta II cobre os meses 3 e 4; o maior valor nesse intervalo é 48, abaixo do máximo de 49.

C — correta

A proposta III inclui o mês 5, em que a função atinge seu máximo de 49.

D

A proposta IV cobre os meses 7 a 9, após o pico; seu maior valor é 45.

E

A proposta V cobre os meses 10 a 12, com valores de no máximo 24, e não inclui o pico.

Resumo para revisão

A função pode ser escrita como 49 − (t − 5)²; o máximo ocorre no mês 5, incluído na proposta III.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2022, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 176, página 30. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.