ENEM 2023 · Questão 39354 · Matemática

Enunciado completo

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
• algarismos de 0 a 9;
• 26 letras minúsculas do alfabeto;
• 26 letras maiúsculas do alfabeto;
• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p₁, p₂ e p₃ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

1. A) tipo I, pois p₁ < p₂ < p₃.
2. B) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
3. C) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
4. D) tipo III, pois p₃ < p₂ < p₁.
5. E) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Gabarito: alternativa A

Resolução comentada

A menor probabilidade de acerto em uma tentativa corresponde ao maior número de senhas possíveis. Há 10 + 26 + 26 + 6 = 68 caracteres permitidos, e a ordem dos caracteres importa.

No tipo I, as quatro posições usam caracteres distintos dentre todos os 68: N₁ = 68 × 67 × 66 × 65 = 19 545 240. No tipo II, as três primeiras posições recebem letras distintas dentre 52, seguidas de um algarismo e um caractere especial: N₂ = 52 × 51 × 50 × 10 × 6 = 7 956 000.

No tipo III, são duas letras distintas, dois algarismos distintos e dois caracteres especiais distintos: N₃ = 52 × 51 × 10 × 9 × 6 × 5 = 7 160 400. Como N₁ > N₂ > N₃ e pᵢ = 1/Nᵢ, temos p₁ < p₂ < p₃. O tipo I oferece a menor probabilidade de descoberta, com a justificativa da alternativa A.

Análise das alternativas

A — correta

A ordem das quantidades possíveis é N₁ > N₂ > N₃. Ao tomar seus inversos, resulta p₁ < p₂ < p₃, de modo que o tipo I é o menos provável de ser descoberto.

B

O tipo I é o correto, mas a justificativa não é. Ter menos caracteres, por si só, não reduz a chance de acerto; o resultado depende do maior total de combinações permitidas.

C

O tipo II tem 7 956 000 possibilidades, menos que as 19 545 240 do tipo I. A presença de três letras não o torna o mais difícil de descobrir.

D

A desigualdade está invertida: o tipo III tem o menor número de possibilidades e, portanto, a maior probabilidade de descoberta entre os três tipos.

E

O tipo III é o mais longo, mas suas restrições deixam apenas 7 160 400 possibilidades, o menor total. Comprimento sozinho não justifica a menor probabilidade.

Resumo para revisão

Conte as escolhas permitidas em cada posição, respeitando as restrições e a ausência de repetição. O número de caracteres da senha, isoladamente, não determina o número de senhas possíveis.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2023, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 157, página 23. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.