ENEM 2023 · Questão 39357 · Matemática

Enunciado completo

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

1. A) 20
2. B) 60
3. C) 64
4. D) 68
5. E) 80

Gabarito: alternativa C

Resolução comentada

Na urna B, quatro bolinhas pretas representam 25% do total. Logo, há 4/0,25 = 16 bolinhas, das quais 12 são brancas.

Se x bolinhas brancas forem adicionadas, a urna B passará a ter 16 + x bolinhas, mantendo as quatro pretas. A probabilidade de retirar uma preta de cada urna será 0,20 × [4/(16 + x)]. Para que ela seja, no máximo, 1%, precisamos de 0,80/(16 + x) ≤ 0,01.

Como o denominador é positivo, a desigualdade equivale a 16 + x ≥ 80, ou x ≥ 64. Portanto, devem ser adicionadas pelo menos 64 bolinhas brancas, alternativa C. Ao final, a urna B terá 68 brancas e 4 pretas, totalizando 80.

Análise das alternativas

A

Adicionar 20 bolinhas deixa 36 na urna B. A chance de ganhar fica 0,20 × (4/36) ≈ 2,22%, superior a 1%.

B

Adicionar 60 bolinhas deixa 76 na urna B. A chance é 0,20 × (4/76) ≈ 1,053%, ainda maior que o limite.

C — correta

Adicionar 64 bolinhas deixa 80 no total. A chance passa a 0,20 × (4/80) = 0,01 = 1%, e nenhuma adição menor atende ao limite.

D

68 é a quantidade final de bolinhas brancas quando se adicionam 64 às 12 iniciais. Adicionar 68 também funcionaria, mas não seria o mínimo.

E

80 é o total final de bolinhas necessário, incluindo as quatro pretas e as 12 brancas iniciais. Adicionar 80 supera o mínimo de 64.

Resumo para revisão

Para combinar dois sorteios em urnas distintas, multiplique as probabilidades. Ao modificar uma urna, diferencie o número de objetos acrescentados do novo total de objetos.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2023, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 166, página 26. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.