ENEM 2024 · Questão 39449 · Matemática

Enunciado completo

Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

1. A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²√3/24.
2. B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será 3k²√3/2.
3. C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²/16.
4. D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²√3/36.
5. E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será k²√3/4.

Gabarito: alternativa A

Resolução comentada

O comprimento k de cerca é o perímetro, e não o lado. No triângulo equilátero, o lado mede k/3; sua área é (√3/4)(k/3)² = k²√3/36. No quadrado, o lado mede k/4 e a área é k²/16.

O hexágono regular tem lado k/6 e pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Sua área é 6 × (√3/4)(k/6)² = k²√3/24.

Para k positivo, basta comparar os coeficientes: √3/36 ≈ 0,0481; 1/16 = 0,0625; √3/24 ≈ 0,0722. A maior área é a do hexágono, com expressão k²√3/24, alternativa A.

Análise das alternativas

A — correta

O hexágono regular oferece a maior área entre as três formas de mesmo perímetro, e k²√3/24 é sua expressão correta.

B

A forma escolhida é a melhor, mas a expressão usa k como se fosse a medida do lado. O lado do hexágono é k/6, tornando a área igual a 1/36 da expressão indicada.

C

A expressão k²/16 calcula corretamente a área do quadrado, mas ela é menor que a área k²√3/24 do hexágono.

D

A expressão k²√3/36 calcula corretamente a área do triângulo, mas é a menor das três áreas comparadas.

E

A expressão k²√3/4 trata k como lado do triângulo. Como k é o perímetro, o lado é k/3; além disso, o triângulo não maximiza a área.

Resumo para revisão

Quando o perímetro é fixo, divida-o pelo número de lados antes de calcular a área. Uma expressão correta para uma figura não garante que ela seja a figura de maior área.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2024, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 147, página 20. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.