ENEM 2024 · Questão 39461 · Matemática

Enunciado completo

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

1. A) 85
2. B) 100
3. C) 175
4. D) 200
5. E) 350

Gabarito: alternativa B

Resolução comentada

Há dois lados de cada comprimento. Assim, o custo das telas é 2 × 20L + 2 × 15C = 40L + 30C. Para maximizar a área, utiliza-se todo o orçamento: 40L + 30C = 6.000.

Isolando C, temos C = 200 − (4/3)L. A área é A = LC = 200L − (4/3)L², uma função quadrática com concavidade para baixo. Seu máximo ocorre em L = −200/[2 × (−4/3)] = 75 metros.

Então C = 200 − (4/3) × 75 = 100 metros. O maior lado mede 100 metros, alternativa B. O custo é 40 × 75 + 30 × 100 = R$ 6.000,00, e a área máxima é 7.500 m².

Análise das alternativas

A

Se o maior lado medisse 85 metros, ambos os lados seriam no máximo 85; a área seria no máximo 85² = 7.225 m², menor que os 7.500 m² obtidos com lados de 75 e 100 metros.

B — correta

100 metros é o maior lado: com L = 75 e C = 100, o orçamento é usado integralmente e a função área atinge seu máximo.

C

175 metros é a soma dos lados diferentes, 75 + 100, e não o comprimento do maior lado.

D

200 metros é o valor de C quando L = 0 na restrição de custo. Isso produz área nula, não um galinheiro de área máxima.

E

350 metros é o perímetro do retângulo ótimo, 2 × (75 + 100). A questão pede apenas seu maior lado.

Resumo para revisão

Em problemas de área máxima com custo limitado, conte todos os lados e suas tarifas. Use a restrição para escrever a área em uma única variável e encontre o máximo da parábola; depois confira qual medida foi pedida.

Fonte e créditos

INEP, ENEM 2024, segundo dia, Caderno 5 (amarelo), questão 177, página 31. Prova oficial · Gabarito oficial.

Resolução e análise das alternativas: Patrulha dos Concurseiros. A numeração da prova original está identificada na fonte.